李导数

设 $X$ 是流形 $M$ 上的一向量场, $F^t$ 是相应于 $X$ 的 $M$ 上的局部定义的一个流(flow). (注意: 局部定义的这样的流总是存在的.)

于是 $F^t(p)$ 在 $t$ 很小时有定义, 且曲线 $t\mapsto F^t(p)$ 是 $X$ 的积分曲线(显然当 $t=0$ 时经过点 $p$.) 张量沿 $X$ 方向的李导数 (Lie derivative) 定义为关于张量沿着由 $X$ 生成的流移动时的 Taylor 展开式中的一阶项.

(1) 考虑 (0,0) 张量

设 $f: M\rightarrow\mathbb{R}$ 是流形 $M$ 上的一个函数, 则

\[
f(F^t(p))=f(p)+t(L_X f)(p)+o(t),
\]

其中李导数 $L_X f$ 正好是方向导数 $D_X f=df(X)$. 我们也可以这样写

\[
\begin{aligned}
f\circ F^t &=f+tL_X f+o(t),\\
L_X f &=D_X f=df(X).
\end{aligned}
\]

所以 $L$ 关于 $X$ 是线性的.

(2) 当所考虑的张量为向量场 $Y$ 时, 事情变得稍微有点复杂. 我们将考虑 $Y|_{F^t}$, 但在不同的切空间中, 不能直接将 $Y|_{F^t}$ 直接与 $Y$ 作比较. 于是我们来看 $T_p M$ 中的曲线 $t\mapsto DF^{-t}(Y|_{F^t(p)})$. (这里 $DF^{-t}$ 指的是逆向流 $F^{-t}$ 的切映射.) 然后在 0 附件关于 $t$ 作 Taylor 展开. 对某个向量 $(L_X Y)_p\in T_p M$, 我们有

\[
DF^{-t}(Y|_{F^t(p)})=Y|_{p}+t(L_X Y)|_{p}+o(t).
\]

容易证明 $L_X Y=[X,Y]$. 参见问题1811. 从而也可作为李导数的另外一种定义.

(3) 我们来定义关于 $(0,p)$-型张量 $T$ 的李导数, 并给出关于这个李导数的一个代数公式.

定义 $L_X T$ 为

\[
(F^t)^* T=T+t(L_X T)+o(t).
\]

或更确切地,

\[
\begin{split}
\bigl((F^t)^* T\bigr)(Y_1,\ldots, Y_p)&=T(DF^t(Y_1),\ldots,DF^t(Y_p))\\
&=T(Y_1,\ldots, Y_p)+t(L_X T)(Y_1,\ldots, Y_p)+o(t).
\end{split}
\]

我们有下面的性质

Prop. 设 $X,T$ 分别为流形 $M$ 上的向量场和 $(0,p)$-型张量, 则

\[
(L_X T)(Y_1,\ldots, Y_p)=D_X\bigl(T(Y_1,\ldots, Y_p)\bigr)-\sum_{i=1}^{p}T(Y_1,\ldots,L_X Y_i,\ldots, Y_p).
\]

证明见问题1812.

References:

Translate from the book written by Peter Peterson, 《Riemannian Geometry》